{r}{7x+3y=-15}{12y-5x=39} шешу

$$\left\{ \begin{array} { r } { 7 x + 3 y = - 15 } \\ { 12 y - 5 x = 39 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+3y=-15$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$7x=-3y-15$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y-15\right)$$

\frac{1}{7} санын -3y-15 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y-15}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -5x+12y=39.

$$-5\left(-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}\right)+12y=39$$

-5 санын \frac{-3y-15}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{15}{7}y+\frac{75}{7}+12y=39$$

\frac{15y}{7} санын 12y санына қосу.

$$\frac{99}{7}y+\frac{75}{7}=39$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{75}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{99}{7}y=\frac{198}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{99}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{7}\times 2-\frac{15}{7}$$

-\frac{3}{7} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-6-15}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{15}{7} бөлшегіне -\frac{6}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7\times 12-3\left(-5\right)}&-\frac{3}{7\times 12-3\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{7\times 12-3\left(-5\right)}&\frac{7}{7\times 12-3\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}&-\frac{1}{33}\\\frac{5}{99}&\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}\left(-15\right)-\frac{1}{33}\times 39\\\frac{5}{99}\left(-15\right)+\frac{7}{99}\times 39\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

7x және -5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$-5\times 7x-5\times 3y=-5\left(-15\right),7\left(-5\right)x+7\times 12y=7\times 39$$

Қысқартыңыз.

$$-35x-15y=75,-35x+84y=273$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -35x+84y=273 мәнін -35x-15y=75 мәнінен алып тастаңыз.

$$-35x+35x-15y-84y=75-273$$

-35x санын 35x санына қосу. -35x және 35x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-15y-84y=75-273$$

-15y санын -84y санына қосу.

$$-99y=75-273$$

75 санын -273 санына қосу.

$$-99y=-198$$

Екі жағын да -99 санына бөліңіз.

$$y=2$$

-5x+12y=39 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-5x+12\times 2=39$$

12 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$-5x+24=39$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$-5x=15$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=2$$