{r}{5p-q=7}{-2p+3q=5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

p, q мәнін табыңыз

$$p=2$$

$$q=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және p мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы p мәнін шешіңіз.

$$5p-q=7$$

Теңдеудің екі жағына да q санын қосыңыз.

$$5p=q+7$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

\frac{1}{5} санын q+7 санына көбейтіңіз.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{7+q}{5} мәнін p мәнімен ауыстырыңыз, -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

-2 санын \frac{7+q}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

-\frac{2q}{5} санын 3q санына қосу.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{14}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{13}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$q=3$$

p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5} теңдеуінде 3 мәнін q мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, p мәнін тікелей таба аласыз.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

\frac{1}{5} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{5} бөлшегіне \frac{3}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$p=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$p=2,q=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

p және q матрица элементтерін шығарыңыз.

$$p=2,q=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p және -2p мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -10p+15q=25 мәнін -10p+2q=-14 мәнінен алып тастаңыз.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

-10p санын 10p санына қосу. -10p және 10p мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2q-15q=-14-25$$

2q санын -15q санына қосу.

$$-13q=-14-25$$

-14 санын -25 санына қосу.

$$-13q=-39$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$q=3$$

-2p+3q=5 теңдеуінде 3 мәнін q мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, p мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2p+3\times 3=5$$

3 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$-2p+9=5$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$-2p=-4$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$p=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$p=2,q=3$$