{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

Ауыстыру және квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да kx мәнін қысқартыңыз.

$$y-kx=b$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 4 мәніне көбейтіңіз.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

y мәні бар мүшені теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y+\left(-k\right)x=b теңдеуіндегі y мәнін табыңыз.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

Теңдеудің екі жағынан \left(-k\right)x санын алып тастаңыз.

$$y=kx+b$$

Басқа теңдеуде kx+b мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

kx+b санының квадратын шығарыңыз.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

4 санын k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2} санына көбейтіңіз.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

x^{2} санын 4k^{2}x^{2} санына қосу.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 1+4k^{2} санын a мәніне, 4\times 2kb санын b мәніне және -4+4b^{2} санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2kb санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 санын 1+4k^{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} санын -4+4b^{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

64k^{2}b^{2} санын -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) санына қосу.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 санын 1+4k^{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} теңдеуін шешіңіз. -8kb санын 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} санына қосу.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} санын 2+8k^{2} санына бөліңіз.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} теңдеуін шешіңіз. 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} мәнінен -8kb мәнін алу.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} санын 2+8k^{2} санына бөліңіз.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x мәнінің екі шешімі бар: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} және -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. Екі теңдеуді де қанағаттандыратын y мәнінің сәйкес шешімін табу үшін, y=kx+b теңдеуінде \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} санын x мәнімен ауыстырыңыз.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

k санын \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

Енді екі теңдеуді де қанағаттандыратын y мәнінің сәйкес шешімін табу үшін, y=kx+b теңдеуінде -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} санын x мәнімен ауыстырыңыз да, теңдеуді шешіңіз.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

k санын -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} санына көбейтіңіз.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$