{l}{y=kx+2}{y=2x+k} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + 2 } \\ { y = 2 x + k } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да kx мәнін қысқартыңыз.

$$y-kx=2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=k$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Теңдеудің екі жағына да kx санын қосыңыз.

$$y=kx+2$$

Басқа теңдеуде kx+2 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

kx санын -2x санына қосу.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

Екі жағын да k-2 санына бөліңіз.

$$x=1$$

y=kx+2 теңдеуінде 1 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=k+2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=k+2,x=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да kx мәнін қысқартыңыз.

$$y-kx=2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=k$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=k+2,x=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да kx мәнін қысқартыңыз.

$$y-kx=2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=k$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y-2x=k мәнін y+\left(-k\right)x=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

-kx санын 2x санына қосу.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

Екі жағын да -k+2 санына бөліңіз.

$$x=1$$

y-2x=k теңдеуінде 1 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y-2=k$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$y=k+2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=k+2,x=1$$

x, y мәнін табыңыз

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да kx мәнін қысқартыңыз.

$$y-kx=2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=k$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Теңдеудің екі жағына да kx санын қосыңыз.

$$y=kx+2$$

Басқа теңдеуде kx+2 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

kx санын -2x санына қосу.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

Екі жағын да k-2 санына бөліңіз.

$$x=1$$

y=kx+2 теңдеуінде 1 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=k+2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=k+2,x=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да kx мәнін қысқартыңыз.

$$y-kx=2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=k$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=k+2,x=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да kx мәнін қысқартыңыз.

$$y-kx=2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=k$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y-2x=k мәнін y+\left(-k\right)x=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

-kx санын 2x санына қосу.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

Екі жағын да -k+2 санына бөліңіз.

$$x=1$$

y-2x=k теңдеуінде 1 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y-2=k$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$y=k+2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=k+2,x=1$$