{l}{y=4x+5}{4x-3y=3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$y-4x=5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-4x=5$$

Теңдеудің екі жағына да 4x санын қосыңыз.

$$y=4x+5$$

Басқа теңдеуде 4x+5 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

-3 санын 4x+5 санына көбейтіңіз.

$$-12x-15+4x=3$$

-12x санын 4x санына қосу.

$$-8x-15=3$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$-8x=18$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{9}{4}$$

y=4x+5 теңдеуінде -\frac{9}{4} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

4 санын -\frac{9}{4} санына көбейтіңіз.

$$y=-9+5$$

5 санын -9 санына қосу.

$$y=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$y-4x=5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$y-4x=5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

y және -3y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

Қысқартыңыз.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -3y+4x=3 мәнін -3y+12x=-15 мәнінен алып тастаңыз.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

-3y санын 3y санына қосу. -3y және 3y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12x-4x=-15-3$$

12x санын -4x санына қосу.

$$8x=-15-3$$

-15 санын -3 санына қосу.

$$8x=-18$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{9}{4}$$

-3y+4x=3 теңдеуінде -\frac{9}{4} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

4 санын -\frac{9}{4} санына көбейтіңіз.

$$-3y-9=3$$

Теңдеудің екі жағына да 9 санын қосыңыз.

$$-3y=12$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$