{l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{4}{6} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Басқа теңдеуде -\frac{2x}{3}-5 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

5 санын -\frac{2x}{3}-5 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

-\frac{10x}{3} санын 8x санына қосу.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

Теңдеудің екі жағына да 25 санын қосыңыз.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{14}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-\frac{30}{7}$$

y=-\frac{2}{3}x-5 теңдеуінде -\frac{30}{7} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{30}{7} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

-5 санын \frac{20}{7} санына қосу.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{4}{6} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Екі жағына \frac{2}{3}x қосу.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін шегеру және алу арқылы \frac{4}{6} үлесін ең аз мәнге азайтыңыз.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Екі жағына \frac{2}{3}x қосу.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

y және 5y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

Қысқартыңыз.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5y+8x=-45 мәнін 5y+\frac{10}{3}x=-25 мәнінен алып тастаңыз.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

5y санын -5y санына қосу. 5y және -5y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

\frac{10x}{3} санын -8x санына қосу.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

-25 санын 45 санына қосу.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{14}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-\frac{30}{7}$$

5y+8x=-45 теңдеуінде -\frac{30}{7} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

8 санын -\frac{30}{7} санына көбейтіңіз.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{240}{7} санын қосыңыз.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$