{l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 мәнін табыңыз

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. x_{1} айнымалы мәні 0 мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да x_{1} мәніне көбейтіңіз.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Екі жағынан да 2x_{1} мәнін қысқартыңыз.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x_{1} мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x_{1} мәнін шешіңіз.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

Теңдеудің екі жағынан x_{2} санын алып тастаңыз.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

Басқа теңдеуде -x_{2}+97 мәнін x_{1} мәнімен ауыстырыңыз, -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

-2 санын -x_{2}+97 санына көбейтіңіз.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

2x_{2} санын x_{2} санына қосу.

$$3x_{2}-194=0$$

Теңдеудің екі жағына да 194 санын қосыңыз.

$$3x_{2}=194$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

x_{1}=-x_{2}+97 теңдеуінде \frac{194}{3} мәнін x_{2} мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x_{1} мәнін тікелей таба аласыз.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

97 санын -\frac{194}{3} санына қосу.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. x_{1} айнымалы мәні 0 мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да x_{1} мәніне көбейтіңіз.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Екі жағынан да 2x_{1} мәнін қысқартыңыз.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

x_{1} және x_{2} матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. x_{1} айнымалы мәні 0 мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да x_{1} мәніне көбейтіңіз.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Екі жағынан да 2x_{1} мәнін қысқартыңыз.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x_{1}+x_{2}=0 мәнін x_{1}+x_{2}=97 мәнінен алып тастаңыз.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

x_{2} санын -x_{2} санына қосу. x_{2} және -x_{2} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

x_{1} санын 2x_{1} санына қосу.

$$3x_{1}=97$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

-2x_{1}+x_{2}=0 теңдеуінде \frac{97}{3} мәнін x_{1} мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x_{2} мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

-2 санын \frac{97}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{194}{3} санын қосыңыз.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$