{l}{x-y=3}{3x+y=8} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 3 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=3,3x+y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=3$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+3$$

Басқа теңдеуде y+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+y=8.

$$3\left(y+3\right)+y=8$$

3 санын y+3 санына көбейтіңіз.

$$3y+9+y=8$$

3y санын y санына қосу.

$$4y+9=8$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$4y=-1$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{4}$$

x=y+3 теңдеуінде -\frac{1}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}+3$$

3 санын -\frac{1}{4} санына қосу.

$$x=\frac{11}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=3,3x+y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\\-\frac{3}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=3,3x+y=8$$

x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\times 3,3x+y=8$$

Қысқартыңыз.

$$3x-3y=9,3x+y=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+y=8 мәнін 3x-3y=9 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x-3y-y=9-8$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-y=9-8$$

-3y санын -y санына қосу.

$$-4y=9-8$$

9 санын -8 санына қосу.

$$-4y=1$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{4}$$

3x+y=8 теңдеуінде -\frac{1}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-\frac{1}{4}=8$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{4} санын қосыңыз.

$$3x=\frac{33}{4}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{11}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$