{l}{x-y=2a}{2x+3y=5-a} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 a } \\ { 2 x + 3 y = 5 - a } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=a+1$$

$$y=1-a$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=2a$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+2a$$

Басқа теңдеуде y+2a мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=5-a.

$$2\left(y+2a\right)+3y=5-a$$

2 санын y+2a санына көбейтіңіз.

$$2y+4a+3y=5-a$$

2y санын 3y санына қосу.

$$5y+4a=5-a$$

Теңдеудің екі жағынан 4a санын алып тастаңыз.

$$5y=5-5a$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=1-a$$

x=y+2a теңдеуінде 1-a мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=1-a+2a$$

2a санын 1-a санына қосу.

$$x=a+1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=a+1,y=1-a$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\\-\frac{2}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+1\\1-a\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=a+1,y=1-a$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2a,2x+3y=5-a$$

Қысқартыңыз.

$$2x-2y=4a,2x+3y=5-a$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+3y=5-a мәнін 2x-2y=4a мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x-2y-3y=4a+a-5$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y-3y=4a+a-5$$

-2y санын -3y санына қосу.

$$-5y=4a+a-5$$

4a санын -5+a санына қосу.

$$-5y=5a-5$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=1-a$$

2x+3y=5-a теңдеуінде 1-a мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\left(1-a\right)=5-a$$

3 санын 1-a санына көбейтіңіз.

$$2x+3-3a=5-a$$

Теңдеудің екі жағынан 3-3a санын алып тастаңыз.

$$2x=2a+2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=a+1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=a+1,y=1-a$$