{l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=10$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+10$$

Басқа теңдеуде y+10 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+2y+\frac{1}{2}=200.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

2 санын y+10 санына көбейтіңіз.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

2y санын 2y санына қосу.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

20 санын \frac{1}{2} санына қосу.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{41}{2} санын алып тастаңыз.

$$4y=\frac{359}{2}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{359}{8}$$

x=y+10 теңдеуінде \frac{359}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

10 санын \frac{359}{8} санына қосу.

$$x=\frac{439}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Қысқартыңыз.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+2y+\frac{1}{2}=200 мәнін 2x-2y=20 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

-2y санын -2y санына қосу.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

20 санын -200 санына қосу.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{2} санын қосыңыз.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{359}{8}$$

2x+2y+\frac{1}{2}=200 теңдеуінде \frac{359}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

2 санын \frac{359}{8} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{359}{4} бөлшегіне \frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{361}{4} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{439}{4}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{439}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$