{l}{x-4y=5}{-2x-y=4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{11}{9} = -1\frac{2}{9} \approx -1.222222222$$

$$y = -\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9} \approx -1.555555556$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-4y=5,-2x-y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-4y=5$$

Теңдеудің екі жағына да 4y санын қосыңыз.

$$x=4y+5$$

Басқа теңдеуде 4y+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x-y=4.

$$-2\left(4y+5\right)-y=4$$

-2 санын 4y+5 санына көбейтіңіз.

$$-8y-10-y=4$$

-8y санын -y санына қосу.

$$-9y-10=4$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$-9y=14$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{14}{9}$$

x=4y+5 теңдеуінде -\frac{14}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=4\left(-\frac{14}{9}\right)+5$$

4 санын -\frac{14}{9} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{56}{9}+5$$

5 санын -\frac{56}{9} санына қосу.

$$x=-\frac{11}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{14}{9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-4y=5,-2x-y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 5-\frac{4}{9}\times 4\\-\frac{2}{9}\times 5-\frac{1}{9}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{9}\\-\frac{14}{9}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{14}{9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-4y=5,-2x-y=4$$

x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-2x-2\left(-4\right)y=-2\times 5,-2x-y=4$$

Қысқартыңыз.

$$-2x+8y=-10,-2x-y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x-y=4 мәнін -2x+8y=-10 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x+8y+y=-10-4$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8y+y=-10-4$$

8y санын y санына қосу.

$$9y=-10-4$$

-10 санын -4 санына қосу.

$$9y=-14$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{14}{9}$$

-2x-y=4 теңдеуінде -\frac{14}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x-\left(-\frac{14}{9}\right)=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{14}{9} санын алып тастаңыз.

$$-2x=\frac{22}{9}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{11}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{14}{9}$$