{l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. x мәнін 1-2x мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y мәнін 1-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right) өрнегін қарастырыңыз. Көбейтуді мына ереженің көмегімен квадраттар айырмасына айналдыруға болады: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

"\left(\sqrt{2}x\right)^{2}" жаю.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} квадраты 2 болып табылады.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Екі жағынан да y^{2} мәнін қысқартыңыз.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

y^{2} және -y^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Екі жағына 2x^{2} қосу.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

-2x^{2} және 2x^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$x-y=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 16 мәніне көбейтіңіз.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

16 мәнін 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 шығару үшін, 16 және 16 сандарын көбейтіңіз.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 мәнін алу үшін, -1 және 256 мәндерін қосыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 мәнін алу үшін, 255 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

16 мәнін 2y+3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

32y+48 мәнін 3-2y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз және ұқсас мүшелерді біріктіріңіз.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Екі жағына 64y^{2} қосу.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

-64y^{2} және 64y^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$32x+16y+256=144$$

Екі жағынан да 256 мәнін қысқартыңыз.

$$32x+16y=144-256$$

-112 мәнін алу үшін, 144 мәнінен 256 мәнін алып тастаңыз.

$$32x+16y=-112$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=3$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+3$$

Басқа теңдеуде y+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 32x+16y=-112.

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

32 санын y+3 санына көбейтіңіз.

$$32y+96+16y=-112$$

32y санын 16y санына қосу.

$$48y+96=-112$$

Теңдеудің екі жағынан 96 санын алып тастаңыз.

$$48y=-208$$

Екі жағын да 48 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{13}{3}$$

x=y+3 теңдеуінде -\frac{13}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

3 санын -\frac{13}{3} санына қосу.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. x мәнін 1-2x мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y мәнін 1-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right) өрнегін қарастырыңыз. Көбейтуді мына ереженің көмегімен квадраттар айырмасына айналдыруға болады: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

"\left(\sqrt{2}x\right)^{2}" жаю.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} квадраты 2 болып табылады.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Екі жағынан да y^{2} мәнін қысқартыңыз.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

y^{2} және -y^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Екі жағына 2x^{2} қосу.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

-2x^{2} және 2x^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$x-y=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 16 мәніне көбейтіңіз.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

16 мәнін 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 шығару үшін, 16 және 16 сандарын көбейтіңіз.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 мәнін алу үшін, -1 және 256 мәндерін қосыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 мәнін алу үшін, 255 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

16 мәнін 2y+3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

32y+48 мәнін 3-2y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз және ұқсас мүшелерді біріктіріңіз.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Екі жағына 64y^{2} қосу.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

-64y^{2} және 64y^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$32x+16y+256=144$$

Екі жағынан да 256 мәнін қысқартыңыз.

$$32x+16y=144-256$$

-112 мәнін алу үшін, 144 мәнінен 256 мәнін алып тастаңыз.

$$32x+16y=-112$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. x мәнін 1-2x мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y мәнін 1-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2} теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right) өрнегін қарастырыңыз. Көбейтуді мына ереженің көмегімен квадраттар айырмасына айналдыруға болады: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

"\left(\sqrt{2}x\right)^{2}" жаю.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2} квадраты 2 болып табылады.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

Екі жағынан да y^{2} мәнін қысқартыңыз.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

y^{2} және -y^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Екі жағына 2x^{2} қосу.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

-2x^{2} және 2x^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$x-y=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 16 мәніне көбейтіңіз.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2} формуласын жіктеу үшін \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} Ньютон бином теоремасын пайдаланыңыз.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16} теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

16 мәнін 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16} мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 шығару үшін, 16 және 16 сандарын көбейтіңіз.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

255 мәнін алу үшін, -1 және 256 мәндерін қосыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

256 мәнін алу үшін, 255 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

16 мәнін 2y+3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

32y+48 мәнін 3-2y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз және ұқсас мүшелерді біріктіріңіз.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Екі жағына 64y^{2} қосу.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

-64y^{2} және 64y^{2} мәндерін қоссаңыз, 0 мәні шығады.

$$32x+16y+256=144$$

Екі жағынан да 256 мәнін қысқартыңыз.

$$32x+16y=144-256$$

-112 мәнін алу үшін, 144 мәнінен 256 мәнін алып тастаңыз.

$$32x+16y=-112$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

x және 32x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 32 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

Қысқартыңыз.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 32x+16y=-112 мәнін 32x-32y=96 мәнінен алып тастаңыз.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

32x санын -32x санына қосу. 32x және -32x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-32y-16y=96+112$$

-32y санын -16y санына қосу.

$$-48y=96+112$$

96 санын 112 санына қосу.

$$-48y=208$$

Екі жағын да -48 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{13}{3}$$

32x+16y=-112 теңдеуінде -\frac{13}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

16 санын -\frac{13}{3} санына көбейтіңіз.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{208}{3} санын қосыңыз.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

Екі жағын да 32 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$