{l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=8$$

$$y=-12$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына \frac{1}{4}y қосу.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{4} санын алып тастаңыз.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{4}+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=0.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

3 санын -\frac{y}{4}+5 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

-\frac{3y}{4} санын 2y санына қосу.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-12$$

x=-\frac{1}{4}y+5 теңдеуінде -12 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

-\frac{1}{4} санын -12 санына көбейтіңіз.

$$x=3+5$$

5 санын 3 санына қосу.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=-12$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына \frac{1}{4}y қосу.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=8,y=-12$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына \frac{1}{4}y қосу.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

Қысқартыңыз.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+2y=0 мәнін 3x+\frac{3}{4}y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

\frac{3y}{4} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-12$$

3x+2y=0 теңдеуінде -12 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

2 санын -12 санына көбейтіңіз.

$$3x-24=0$$

Теңдеудің екі жағына да 24 санын қосыңыз.

$$3x=24$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=-12$$