{l}{x=3/4y}{y=8/9x-4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{3}{4}y мәнін қысқартыңыз.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{8}{9}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{3y}{4} санын қосыңыз.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Басқа теңдеуде \frac{3y}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

-\frac{8}{9} санын \frac{3y}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

-\frac{2y}{3} санын y санына қосу.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-12$$

x=\frac{3}{4}y теңдеуінде -12 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

\frac{3}{4} санын -12 санына көбейтіңіз.

$$x=-9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-9,y=-12$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{3}{4}y мәнін қысқартыңыз.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{8}{9}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-9,y=-12$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{3}{4}y мәнін қысқартыңыз.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{8}{9}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

x және -\frac{8x}{9} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -\frac{8}{9} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Қысқартыңыз.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -\frac{8}{9}x+y=-4 мәнін -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

-\frac{8x}{9} санын \frac{8x}{9} санына қосу. -\frac{8x}{9} және \frac{8x}{9} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

\frac{2y}{3} санын -y санына қосу.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

Екі жағын да -3 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-12$$

-\frac{8}{9}x+y=-4 теңдеуінде -12 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 12 санын қосыңыз.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{8}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-9,y=-12$$