{l}{x+y=7}{-4x+y=-3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { - 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=7,-4x+y=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=7$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+7$$

Басқа теңдеуде -y+7 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x+y=-3.

$$-4\left(-y+7\right)+y=-3$$

-4 санын -y+7 санына көбейтіңіз.

$$4y-28+y=-3$$

4y санын y санына қосу.

$$5y-28=-3$$

Теңдеудің екі жағына да 28 санын қосыңыз.

$$5y=25$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x=-y+7 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-5+7$$

7 санын -5 санына қосу.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=7,-4x+y=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{1}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{5}\left(-3\right)\\\frac{4}{5}\times 7+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=7,-4x+y=-3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x+y=-3 мәнін x+y=7 мәнінен алып тастаңыз.

$$x+4x+y-y=7+3$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$x+4x=7+3$$

x санын 4x санына қосу.

$$5x=7+3$$

7 санын 3 санына қосу.

$$5x=10$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=2$$

-4x+y=-3 теңдеуінде 2 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4\times 2+y=-3$$

-4 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$-8+y=-3$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$y=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=5$$