{l}{x+y=5}{200x=300y} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 200 x = 300 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 300y мәнін қысқартыңыз.

$$200x-300y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=5,200x-300y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=5$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+5$$

Басқа теңдеуде -y+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 200x-300y=0.

$$200\left(-y+5\right)-300y=0$$

200 санын -y+5 санына көбейтіңіз.

$$-200y+1000-300y=0$$

-200y санын -300y санына қосу.

$$-500y+1000=0$$

Теңдеудің екі жағынан 1000 санын алып тастаңыз.

$$-500y=-1000$$

Екі жағын да -500 санына бөліңіз.

$$y=2$$

x=-y+5 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2+5$$

5 санын -2 санына қосу.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 300y мәнін қысқартыңыз.

$$200x-300y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=5,200x-300y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\200&-300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\200&-300\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\200&-300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\200&-300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\200&-300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\200&-300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\200&-300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{300}{-300-200}&-\frac{1}{-300-200}\\-\frac{200}{-300-200}&\frac{1}{-300-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{500}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 300y мәнін қысқартыңыз.

$$200x-300y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=5,200x-300y=0$$

x және 200x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 200 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$200x+200y=200\times 5,200x-300y=0$$

Қысқартыңыз.

$$200x+200y=1000,200x-300y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 200x-300y=0 мәнін 200x+200y=1000 мәнінен алып тастаңыз.

$$200x-200x+200y+300y=1000$$

200x санын -200x санына қосу. 200x және -200x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$200y+300y=1000$$

200y санын 300y санына қосу.

$$500y=1000$$

Екі жағын да 500 санына бөліңіз.

$$y=2$$

200x-300y=0 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$200x-300\times 2=0$$

-300 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$200x-600=0$$

Теңдеудің екі жағына да 600 санын қосыңыз.

$$200x=600$$

Екі жағын да 200 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=2$$