{l}{x+y=45}{18x+120y=6000} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=45$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+45$$

Басқа теңдеуде -y+45 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

18 санын -y+45 санына көбейтіңіз.

$$-18y+810+120y=6000$$

-18y санын 120y санына қосу.

$$102y+810=6000$$

Теңдеудің екі жағынан 810 санын алып тастаңыз.

$$102y=5190$$

Екі жағын да 102 санына бөліңіз.

$$y=\frac{865}{17}$$

x=-y+45 теңдеуінде \frac{865}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

45 санын -\frac{865}{17} санына қосу.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

x және 18x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 18 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

Қысқартыңыз.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 18x+120y=6000 мәнін 18x+18y=810 мәнінен алып тастаңыз.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

18x санын -18x санына қосу. 18x және -18x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18y-120y=810-6000$$

18y санын -120y санына қосу.

$$-102y=810-6000$$

810 санын -6000 санына қосу.

$$-102y=-5190$$

Екі жағын да -102 санына бөліңіз.

$$y=\frac{865}{17}$$

18x+120y=6000 теңдеуінде \frac{865}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

120 санын \frac{865}{17} санына көбейтіңіз.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{103800}{17} санын алып тастаңыз.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

Екі жағын да 18 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$