{l}{x+y=40}{x=1/7y} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { x = \frac { 1 } { 7 } y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=35$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{7}y мәнін қысқартыңыз.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=40$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+40$$

Басқа теңдеуде -y+40 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-\frac{1}{7}y=0.

$$-y+40-\frac{1}{7}y=0$$

-y санын -\frac{y}{7} санына қосу.

$$-\frac{8}{7}y+40=0$$

Теңдеудің екі жағынан 40 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{8}{7}y=-40$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{8}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=35$$

x=-y+40 теңдеуінде 35 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-35+40$$

40 санын -35 санына қосу.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=35$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{7}y мәнін қысқартыңыз.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{7}}{-\frac{1}{7}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{7}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\\frac{7}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 40\\\frac{7}{8}\times 40\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=35$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{7}y мәнін қысқартыңыз.

$$x-\frac{1}{7}y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=40,x-\frac{1}{7}y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x-\frac{1}{7}y=0 мәнін x+y=40 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+y+\frac{1}{7}y=40$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y+\frac{1}{7}y=40$$

y санын \frac{y}{7} санына қосу.

$$\frac{8}{7}y=40$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{8}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=35$$

x-\frac{1}{7}y=0 теңдеуінде 35 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-\frac{1}{7}\times 35=0$$

-\frac{1}{7} санын 35 санына көбейтіңіз.

$$x-5=0$$

Теңдеудің екі жағына да 5 санын қосыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=35$$