{l}{x+y=4}{3x-3y=12} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 3 x - 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=4$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+4$$

Басқа теңдеуде -y+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-3y=12.

$$3\left(-y+4\right)-3y=12$$

3 санын -y+4 санына көбейтіңіз.

$$-3y+12-3y=12$$

-3y санын -3y санына қосу.

$$-6y+12=12$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$-6y=0$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=0$$

x=-y+4 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3}&-\frac{1}{-3-3}\\-\frac{3}{-3-3}&\frac{1}{-3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{6}\times 12\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$3x+3y=3\times 4,3x-3y=12$$

Қысқартыңыз.

$$3x+3y=12,3x-3y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x-3y=12 мәнін 3x+3y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+3y+3y=12-12$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y+3y=12-12$$

3y санын 3y санына қосу.

$$6y=12-12$$

12 санын -12 санына қосу.

$$6y=0$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=0$$

3x-3y=12 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x=12$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=0$$