{l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=100$$

$$y=120$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{3}{8}y мәнін қысқартыңыз.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=220$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+220$$

Басқа теңдеуде -y+220 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

\frac{2}{5} санын -y+220 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

-\frac{2y}{5} санын -\frac{3y}{8} санына қосу.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

Теңдеудің екі жағынан 88 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{31}{40} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=120$$

x=-y+220 теңдеуінде 120 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-120+220$$

220 санын -120 санына қосу.

$$x=100$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=100,y=120$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{3}{8}y мәнін қысқартыңыз.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=100,y=120$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{3}{8}y мәнін қысқартыңыз.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

x және \frac{2x}{5} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{2}{5} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 мәнін \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

\frac{2x}{5} санын -\frac{2x}{5} санына қосу. \frac{2x}{5} және -\frac{2x}{5} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

\frac{2y}{5} санын \frac{3y}{8} санына қосу.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

88 санын 5 санына қосу.

$$\frac{31}{40}y=93$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{31}{40} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=120$$

\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 теңдеуінде 120 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

-\frac{3}{8} санын 120 санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

Теңдеудің екі жағына да 45 санын қосыңыз.

$$\frac{2}{5}x=40$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=100$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=100,y=120$$