{l}{x+y=140}{x/y=7} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 140 } \\ { \frac { x } { y } = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{245}{2} = 122\frac{1}{2} = 122.5$$

$$y = \frac{35}{2} = 17\frac{1}{2} = 17.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. y айнымалы мәні 0 мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да y мәніне көбейтіңіз.

$$x=7y$$

Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$x-7y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=140$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+140$$

Басқа теңдеуде -y+140 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-7y=0.

$$-y+140-7y=0$$

-y санын -7y санына қосу.

$$-8y+140=0$$

Теңдеудің екі жағынан 140 санын алып тастаңыз.

$$-8y=-140$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{35}{2}$$

x=-y+140 теңдеуінде \frac{35}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{35}{2}+140$$

140 санын -\frac{35}{2} санына қосу.

$$x=\frac{245}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. y айнымалы мәні 0 мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да y мәніне көбейтіңіз.

$$x=7y$$

Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$x-7y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-1}&-\frac{1}{-7-1}\\-\frac{1}{-7-1}&\frac{1}{-7-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}140\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 140\\\frac{1}{8}\times 140\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{245}{2}\\\frac{35}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. y айнымалы мәні 0 мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да y мәніне көбейтіңіз.

$$x=7y$$

Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$x-7y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=140,x-7y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x-7y=0 мәнін x+y=140 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+y+7y=140$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y+7y=140$$

y санын 7y санына қосу.

$$8y=140$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{35}{2}$$

x-7y=0 теңдеуінде \frac{35}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-7\times \frac{35}{2}=0$$

-7 санын \frac{35}{2} санына көбейтіңіз.

$$x-\frac{245}{2}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{245}{2} санын қосыңыз.

$$x=\frac{245}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{245}{2},y=\frac{35}{2}$$