{l}{x+my=a}{x-ny=b} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+my=a$$

Теңдеудің екі жағынан my санын алып тастаңыз.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

Басқа теңдеуде a-my мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

-my санын -ny санына қосу.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

Теңдеудің екі жағынан a санын алып тастаңыз.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

Екі жағын да -m-n санына бөліңіз.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

x=\left(-m\right)y+a теңдеуінде -\frac{b-a}{m+n} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

-m санын -\frac{b-a}{m+n} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

a санын \frac{m\left(b-a\right)}{m+n} санына қосу.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+\left(-n\right)y=b мәнін x+my=a мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+my+ny=a-b$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$my+ny=a-b$$

my санын ny санына қосу.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

Екі жағын да m+n санына бөліңіз.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

x+\left(-n\right)y=b теңдеуінде \frac{a-b}{m+n} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

-n санын \frac{a-b}{m+n} санына көбейтіңіз.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} санын қосыңыз.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

x, y мәнін табыңыз

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+my=a$$

Теңдеудің екі жағынан my санын алып тастаңыз.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

Басқа теңдеуде a-my мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

-my санын -ny санына қосу.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

Теңдеудің екі жағынан a санын алып тастаңыз.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

Екі жағын да -m-n санына бөліңіз.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

x=\left(-m\right)y+a теңдеуінде -\frac{b-a}{m+n} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

-m санын -\frac{b-a}{m+n} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

a санын \frac{m\left(b-a\right)}{m+n} санына қосу.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+\left(-n\right)y=b мәнін x+my=a мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+my+ny=a-b$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$my+ny=a-b$$

my санын ny санына қосу.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

Екі жағын да m+n санына бөліңіз.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

x+\left(-n\right)y=b теңдеуінде \frac{a-b}{m+n} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

-n санын \frac{a-b}{m+n} санына көбейтіңіз.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} санын қосыңыз.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$