{l}{x+5y=5}{3x-2y=3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+5y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$x=-5y+5$$

Басқа теңдеуде -5y+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=3.

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

3 санын -5y+5 санына көбейтіңіз.

$$-15y+15-2y=3$$

-15y санын -2y санына қосу.

$$-17y+15=3$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$-17y=-12$$

Екі жағын да -17 санына бөліңіз.

$$y=\frac{12}{17}$$

x=-5y+5 теңдеуінде \frac{12}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

-5 санын \frac{12}{17} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

5 санын -\frac{60}{17} санына қосу.

$$x=\frac{25}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

Қысқартыңыз.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x-2y=3 мәнін 3x+15y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y+2y=15-3$$

15y санын 2y санына қосу.

$$17y=15-3$$

15 санын -3 санына қосу.

$$17y=12$$

Екі жағын да 17 санына бөліңіз.

$$y=\frac{12}{17}$$

3x-2y=3 теңдеуінде \frac{12}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

-2 санын \frac{12}{17} санына көбейтіңіз.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{24}{17} санын қосыңыз.

$$3x=\frac{75}{17}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{25}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$