{l}{x+4y=20}{3y+(x-2y)=11} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 20 } \\ { 3 y + ( x - 2 y ) = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=8$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. 3y және -2y мәндерін қоссаңыз, y мәні шығады.

$$y+x=11$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+4y=20,x+y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+4y=20$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$x=-4y+20$$

Басқа теңдеуде -4y+20 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=11.

$$-4y+20+y=11$$

-4y санын y санына қосу.

$$-3y+20=11$$

Теңдеудің екі жағынан 20 санын алып тастаңыз.

$$-3y=-9$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=3$$

x=-4y+20 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-4\times 3+20$$

-4 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=-12+20$$

20 санын -12 санына қосу.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. 3y және -2y мәндерін қоссаңыз, y мәні шығады.

$$y+x=11$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+4y=20,x+y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4}&-\frac{4}{1-4}\\-\frac{1}{1-4}&\frac{1}{1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 20+\frac{4}{3}\times 11\\\frac{1}{3}\times 20-\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=8,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. 3y және -2y мәндерін қоссаңыз, y мәні шығады.

$$y+x=11$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+4y=20,x+y=11$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+y=11 мәнін x+4y=20 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+4y-y=20-11$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-y=20-11$$

4y санын -y санына қосу.

$$3y=20-11$$

20 санын -11 санына қосу.

$$3y=9$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=3$$

x+y=11 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+3=11$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=3$$