{l}{x+2y=2m}{3x+5y=m-1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 2 m } \\ { 3 x + 5 y = m - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-8m-2$$

$$y=5m+1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=2m$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y+2m$$

Басқа теңдеуде -2y+2m мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+5y=m-1.

$$3\left(-2y+2m\right)+5y=m-1$$

3 санын -2y+2m санына көбейтіңіз.

$$-6y+6m+5y=m-1$$

-6y санын 5y санына қосу.

$$-y+6m=m-1$$

Теңдеудің екі жағынан 6m санын алып тастаңыз.

$$-y=-5m-1$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=5m+1$$

x=-2y+2m теңдеуінде 5m+1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(5m+1\right)+2m$$

-2 санын 5m+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-10m-2+2m$$

2m санын -10m-2 санына қосу.

$$x=-8m-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 3}&-\frac{2}{5-2\times 3}\\-\frac{3}{5-2\times 3}&\frac{1}{5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 2m+2\left(m-1\right)\\3\times 2m-\left(m-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8m-2\\5m+1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$3x+3\times 2y=3\times 2m,3x+5y=m-1$$

Қысқартыңыз.

$$3x+6y=6m,3x+5y=m-1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+5y=m-1 мәнін 3x+6y=6m мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+6y-5y=6m+1-m$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y-5y=6m+1-m$$

6y санын -5y санына қосу.

$$y=6m+1-m$$

6m санын -m+1 санына қосу.

$$y=5m+1$$

3x+5y=m-1 теңдеуінде 1+5m мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+5\left(5m+1\right)=m-1$$

5 санын 1+5m санына көбейтіңіз.

$$3x+25m+5=m-1$$

Теңдеудің екі жағынан 5+25m санын алып тастаңыз.

$$3x=-24m-6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-8m-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$