{l}{x+2y=1}{-x+3y=-4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - x + 3 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y+1$$

Басқа теңдеуде -2y+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+3y=-4.

$$-\left(-2y+1\right)+3y=-4$$

-1 санын -2y+1 санына көбейтіңіз.

$$2y-1+3y=-4$$

2y санын 3y санына қосу.

$$5y-1=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 1 санын қосыңыз.

$$5y=-3$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=-2y+1 теңдеуінде -\frac{3}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(-\frac{3}{5}\right)+1$$

-2 санын -\frac{3}{5} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{6}{5}+1$$

1 санын \frac{6}{5} санына қосу.

$$x=\frac{11}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-2\left(-1\right)}&\frac{1}{3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=1,-x+3y=-4$$

x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-x-2y=-1,-x+3y=-4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -x+3y=-4 мәнін -x-2y=-1 мәнінен алып тастаңыз.

$$-x+x-2y-3y=-1+4$$

-x санын x санына қосу. -x және x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y-3y=-1+4$$

-2y санын -3y санына қосу.

$$-5y=-1+4$$

-1 санын 4 санына қосу.

$$-5y=3$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{3}{5}$$

-x+3y=-4 теңдеуінде -\frac{3}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+3\left(-\frac{3}{5}\right)=-4$$

3 санын -\frac{3}{5} санына көбейтіңіз.

$$-x-\frac{9}{5}=-4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9}{5} санын қосыңыз.

$$-x=-\frac{11}{5}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=\frac{11}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{11}{5},y=-\frac{3}{5}$$