{l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

Ауыстыру және квадраттық теңдеу түбірлері формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$ty+2-x=0$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$ty-x=-2$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

y мәні бар мүшені теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы ty-x=-2 теңдеуіндегі y мәнін табыңыз.

$$ty-x=-2$$

Теңдеудің екі жағынан -x санын алып тастаңыз.

$$ty=x-2$$

Екі жағын да t санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

Басқа теңдеуде \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} санының квадратын шығарыңыз.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

4 санын \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2} санына көбейтіңіз.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

x^{2} санын 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2} санына қосу.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

Бұл теңдеу стандартты формулада берілген: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} квадрат теңдеуінде 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} санын a мәніне, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) санын b мәніне және \frac{16}{t^{2}}-4 санын c мәніне ауыстырыңыз.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) санының квадратын шығарыңыз.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4 санын 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4-\frac{16}{t^{2}} санын \frac{16}{t^{2}}-4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

\frac{256}{t^{4}} санын -\frac{256}{t^{4}}+16 санына қосу.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

16 санының квадраттық түбірін шығарыңыз.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

2 санын 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Енді ± плюс болған кездегі x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} теңдеуін шешіңіз. \frac{16}{t^{2}} санын 4 санына қосу.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

4+\frac{16}{t^{2}} санын 2+\frac{8}{t^{2}} санына бөліңіз.

$$x=2$$

Енді ± минус болған кездегі x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} теңдеуін шешіңіз. 4 мәнінен \frac{16}{t^{2}} мәнін алу.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

\frac{16}{t^{2}}-4 санын 2+\frac{8}{t^{2}} санына бөліңіз.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x мәнінің екі шешімі бар: 2 және -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. Екі теңдеуді де қанағаттандыратын y мәнінің сәйкес шешімін табу үшін, y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} теңдеуінде 2 санын x мәнімен ауыстырыңыз.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Енді екі теңдеуді де қанағаттандыратын y мәнінің сәйкес шешімін табу үшін, y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} теңдеуінде -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} санын x мәнімен ауыстырыңыз да, теңдеуді шешіңіз.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} санын -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} санына көбейтіңіз.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$