{l}{a+3b=2}{2a-3b=8} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 2 } \\ { 2 a - 3 b = 8 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$b=-\frac{4}{9}\approx -0.444444444$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$a+3b=2$$

Теңдеудің екі жағынан 3b санын алып тастаңыз.

$$a=-3b+2$$

Басқа теңдеуде -3b+2 мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 2a-3b=8.

$$2\left(-3b+2\right)-3b=8$$

2 санын -3b+2 санына көбейтіңіз.

$$-6b+4-3b=8$$

-6b санын -3b санына қосу.

$$-9b+4=8$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$-9b=4$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$b=-\frac{4}{9}$$

a=-3b+2 теңдеуінде -\frac{4}{9} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-3\left(-\frac{4}{9}\right)+2$$

-3 санын -\frac{4}{9} санына көбейтіңіз.

$$a=\frac{4}{3}+2$$

2 санын \frac{4}{3} санына қосу.

$$a=\frac{10}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 2}&-\frac{3}{-3-3\times 2}\\-\frac{2}{-3-3\times 2}&\frac{1}{-3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 8\\\frac{2}{9}\times 2-\frac{1}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

a және 2a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2a+2\times 3b=2\times 2,2a-3b=8$$

Қысқартыңыз.

$$2a+6b=4,2a-3b=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2a-3b=8 мәнін 2a+6b=4 мәнінен алып тастаңыз.

$$2a-2a+6b+3b=4-8$$

2a санын -2a санына қосу. 2a және -2a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6b+3b=4-8$$

6b санын 3b санына қосу.

$$9b=4-8$$

4 санын -8 санына қосу.

$$9b=-4$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$b=-\frac{4}{9}$$

2a-3b=8 теңдеуінде -\frac{4}{9} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$2a-3\left(-\frac{4}{9}\right)=8$$

-3 санын -\frac{4}{9} санына көбейтіңіз.

$$2a+\frac{4}{3}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{3} санын алып тастаңыз.

$$2a=\frac{20}{3}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$a=\frac{10}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$