{l}{9x-4y=8}{6x-2y=3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$9x-4y=8$$

Теңдеудің екі жағына да 4y санын қосыңыз.

$$9x=4y+8$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

\frac{1}{9} санын 8+4y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{8+4y}{9} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-2y=3.

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

6 санын \frac{8+4y}{9} санына көбейтіңіз.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

\frac{8y}{3} санын -2y санына қосу.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{16}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{7}{2}$$

x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9} теңдеуінде -\frac{7}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{7}{2} санын \frac{4}{9} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{8}{9} бөлшегіне -\frac{14}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

9x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 54x-18y=27 мәнін 54x-24y=48 мәнінен алып тастаңыз.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

54x санын -54x санына қосу. 54x және -54x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-24y+18y=48-27$$

-24y санын 18y санына қосу.

$$-6y=48-27$$

48 санын -27 санына қосу.

$$-6y=21$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{7}{2}$$

6x-2y=3 теңдеуінде -\frac{7}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

-2 санын -\frac{7}{2} санына көбейтіңіз.

$$6x+7=3$$

Теңдеудің екі жағынан 7 санын алып тастаңыз.

$$6x=-4$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$