{l}{9x+2y=62}{4x+3y=36} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 3 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=6$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$9x+2y=62$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$9x=-2y+62$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

\frac{1}{9} санын -2y+62 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+62}{9} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+3y=36.

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+3y=36$$

4 санын \frac{-2y+62}{9} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+3y=36$$

-\frac{8y}{9} санын 3y санына қосу.

$$\frac{19}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{248}{9} санын алып тастаңыз.

$$\frac{19}{9}y=\frac{76}{9}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{9}\times 4+\frac{62}{9}$$

-\frac{2}{9} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8+62}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{62}{9} бөлшегіне -\frac{8}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 3-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 3-2\times 4}&\frac{9}{9\times 3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{9}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 62-\frac{2}{19}\times 36\\-\frac{4}{19}\times 62+\frac{9}{19}\times 36\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=6,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

9x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 3y=9\times 36$$

Қысқартыңыз.

$$36x+8y=248,36x+27y=324$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 36x+27y=324 мәнін 36x+8y=248 мәнінен алып тастаңыз.

$$36x-36x+8y-27y=248-324$$

36x санын -36x санына қосу. 36x және -36x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8y-27y=248-324$$

8y санын -27y санына қосу.

$$-19y=248-324$$

248 санын -324 санына қосу.

$$-19y=-76$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$y=4$$

4x+3y=36 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+3\times 4=36$$

3 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$4x+12=36$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$4x=24$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=4$$