{l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m=1$$

$$n=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$9m-13n=22$$

Теңдеудің екі жағына да 13n санын қосыңыз.

$$9m=13n+22$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

\frac{1}{9} санын 13n+22 санына көбейтіңіз.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{13n+22}{9} мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

2 санын \frac{13n+22}{9} санына көбейтіңіз.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

\frac{26n}{9} санын 3n санына қосу.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{44}{9} санын алып тастаңыз.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{53}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=-1$$

m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9} теңдеуінде -1 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

\frac{13}{9} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{22}{9} бөлшегіне -\frac{13}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=1,n=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=1,n=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

9m және 2m мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 18m+27n=-9 мәнін 18m-26n=44 мәнінен алып тастаңыз.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

18m санын -18m санына қосу. 18m және -18m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-26n-27n=44+9$$

-26n санын -27n санына қосу.

$$-53n=44+9$$

44 санын 9 санына қосу.

$$-53n=53$$

Екі жағын да -53 санына бөліңіз.

$$n=-1$$

2m+3n=-1 теңдеуінде -1 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

3 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$2m-3=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$2m=2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$m=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=1,n=-1$$