{l}{8x-5=7y-9}{6x=3y+6} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 5 = 7 y - 9 } \\ { 6 x = 3 y + 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$8x-5-7y=-9$$

Екі жағына 5 қосу.

$$8x-7y=-9+5$$

-4 мәнін алу үшін, -9 және 5 мәндерін қосыңыз.

$$8x-7y=-4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$6x-3y=6$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x-7y=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$8x=7y-4$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(7y-4\right)$$

\frac{1}{8} санын 7y-4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{7y}{8}-\frac{1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-3y=6.

$$6\left(\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}\right)-3y=6$$

6 санын \frac{7y}{8}-\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{21}{4}y-3-3y=6$$

\frac{21y}{4} санын -3y санына қосу.

$$\frac{9}{4}y-3=6$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$\frac{9}{4}y=9$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=\frac{7}{8}y-\frac{1}{2} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{8}\times 4-\frac{1}{2}$$

\frac{7}{8} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7-1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{2} бөлшегіне \frac{7}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$8x-5-7y=-9$$

Екі жағына 5 қосу.

$$8x-7y=-9+5$$

-4 мәнін алу үшін, -9 және 5 мәндерін қосыңыз.

$$8x-7y=-4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$6x-3y=6$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{7}{18}\\-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{7}{18}\times 6\\-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$8x-5-7y=-9$$

Екі жағына 5 қосу.

$$8x-7y=-9+5$$

-4 мәнін алу үшін, -9 және 5 мәндерін қосыңыз.

$$8x-7y=-4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$6x-3y=6$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

8x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$6\times 8x+6\left(-7\right)y=6\left(-4\right),8\times 6x+8\left(-3\right)y=8\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$48x-42y=-24,48x-24y=48$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 48x-24y=48 мәнін 48x-42y=-24 мәнінен алып тастаңыз.

$$48x-48x-42y+24y=-24-48$$

48x санын -48x санына қосу. 48x және -48x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-42y+24y=-24-48$$

-42y санын 24y санына қосу.

$$-18y=-24-48$$

-24 санын -48 санына қосу.

$$-18y=-72$$

Екі жағын да -18 санына бөліңіз.

$$y=4$$

6x-3y=6 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-3\times 4=6$$

-3 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$6x-12=6$$

Теңдеудің екі жағына да 12 санын қосыңыз.

$$6x=18$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=4$$