{l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x-8y=9$$

Теңдеудің екі жағына да 8y санын қосыңыз.

$$7x=8y+9$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{7} санын 8y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{8y+9}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-13y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

4 санын \frac{8y+9}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

\frac{32y}{7} санын -13y санына қосу.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{36}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{59}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{106}{59}$$

x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7} теңдеуінде \frac{106}{59} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{106}{59} санын \frac{8}{7} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{9}{7} бөлшегіне \frac{848}{413} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{197}{59}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

7x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

Қысқартыңыз.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 28x-91y=-70 мәнін 28x-32y=36 мәнінен алып тастаңыз.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

28x санын -28x санына қосу. 28x және -28x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-32y+91y=36+70$$

-32y санын 91y санына қосу.

$$59y=36+70$$

36 санын 70 санына қосу.

$$59y=106$$

Екі жағын да 59 санына бөліңіз.

$$y=\frac{106}{59}$$

4x-13y=-10 теңдеуінде \frac{106}{59} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

-13 санын \frac{106}{59} санына көбейтіңіз.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1378}{59} санын қосыңыз.

$$4x=\frac{788}{59}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{197}{59}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$