{l}{7x-3y=5}{x/2+y/3=2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 3 y = 5 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x-3y=5,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x-3y=5$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$7x=3y+5$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(3y+5\right)$$

\frac{1}{7} санын 3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{7}y+\frac{5}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+5}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{3}{7}y+\frac{5}{7}\right)+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{1}{2} санын \frac{3y+5}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{14}y+\frac{5}{14}+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{3y}{14} санын \frac{y}{3} санына қосу.

$$\frac{23}{42}y+\frac{5}{14}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{14} санын алып тастаңыз.

$$\frac{23}{42}y=\frac{23}{14}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{23}{42} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=\frac{3}{7}y+\frac{5}{7} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{7}\times 3+\frac{5}{7}$$

\frac{3}{7} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{9+5}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{7} бөлшегіне \frac{9}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x-3y=5,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{7\times \frac{1}{3}-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-3}{7\times \frac{1}{3}-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{7\times \frac{1}{3}-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{7}{7\times \frac{1}{3}-\left(-3\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{18}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{42}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 5+\frac{18}{23}\times 2\\-\frac{3}{23}\times 5+\frac{42}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x-3y=5,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2$$

7x және \frac{x}{2} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{2} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}\times 7x+\frac{1}{2}\left(-3\right)y=\frac{1}{2}\times 5,7\times \frac{1}{2}x+7\times \frac{1}{3}y=7\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{7}{2}x-\frac{3}{2}y=\frac{5}{2},\frac{7}{2}x+\frac{7}{3}y=14$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{7}{2}x+\frac{7}{3}y=14 мәнін \frac{7}{2}x-\frac{3}{2}y=\frac{5}{2} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{7}{2}x-\frac{7}{2}x-\frac{3}{2}y-\frac{7}{3}y=\frac{5}{2}-14$$

\frac{7x}{2} санын -\frac{7x}{2} санына қосу. \frac{7x}{2} және -\frac{7x}{2} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{7}{3}y=\frac{5}{2}-14$$

-\frac{3y}{2} санын -\frac{7y}{3} санына қосу.

$$-\frac{23}{6}y=\frac{5}{2}-14$$

\frac{5}{2} санын -14 санына қосу.

$$-\frac{23}{6}y=-\frac{23}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{23}{6} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=2 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times 3=2$$

\frac{1}{3} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}x+1=2$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}x=1$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=3$$