{l}{7x+y-3x+2=5}{10x=1+4y} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + y - 3 x + 2 = 5 } \\ { 10 x = 1 + 4 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 7x және -3x мәндерін қоссаңыз, 4x мәні шығады.

$$4x+y+2=5$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз.

$$4x+y=5-2$$

3 мәнін алу үшін, 5 мәнінен 2 мәнін алып тастаңыз.

$$4x+y=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$10x-4y=1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+y=3,10x-4y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+y=3$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$4x=-y+3$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+3\right)$$

\frac{1}{4} санын -y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+3}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 10x-4y=1.

$$10\left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)-4y=1$$

10 санын \frac{-y+3}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}-4y=1$$

-\frac{5y}{2} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{13}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4} теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{-1+3}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{4} бөлшегіне -\frac{1}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{2},y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 7x және -3x мәндерін қоссаңыз, 4x мәні шығады.

$$4x+y+2=5$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз.

$$4x+y=5-2$$

3 мәнін алу үшін, 5 мәнінен 2 мәнін алып тастаңыз.

$$4x+y=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$10x-4y=1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+y=3,10x-4y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\10&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&1\\10&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\10&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\10&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\10&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\10&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\10&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-10}&-\frac{1}{4\left(-4\right)-10}\\-\frac{10}{4\left(-4\right)-10}&\frac{4}{4\left(-4\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{26}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 3+\frac{1}{26}\\\frac{5}{13}\times 3-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1}{2},y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 7x және -3x мәндерін қоссаңыз, 4x мәні шығады.

$$4x+y+2=5$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз.

$$4x+y=5-2$$

3 мәнін алу үшін, 5 мәнінен 2 мәнін алып тастаңыз.

$$4x+y=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$10x-4y=1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+y=3,10x-4y=1$$

4x және 10x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$10\times 4x+10y=10\times 3,4\times 10x+4\left(-4\right)y=4$$

Қысқартыңыз.

$$40x+10y=30,40x-16y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 40x-16y=4 мәнін 40x+10y=30 мәнінен алып тастаңыз.

$$40x-40x+10y+16y=30-4$$

40x санын -40x санына қосу. 40x және -40x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y+16y=30-4$$

10y санын 16y санына қосу.

$$26y=30-4$$

30 санын -4 санына қосу.

$$26y=26$$

Екі жағын да 26 санына бөліңіз.

$$y=1$$

10x-4y=1 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$10x-4=1$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$10x=5$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{2},y=1$$