{l}{7x+3y=43}{4x-3y=67} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=-9$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+3y=43$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$7x=-3y+43$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

\frac{1}{7} санын -3y+43 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+43}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-3y=67.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

4 санын \frac{-3y+43}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

-\frac{12y}{7} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{172}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{33}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-9$$

x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7} теңдеуінде -9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

-\frac{3}{7} санын -9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{43}{7} бөлшегіне \frac{27}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=-9$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=-9$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

7x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

Қысқартыңыз.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 28x-21y=469 мәнін 28x+12y=172 мәнінен алып тастаңыз.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

28x санын -28x санына қосу. 28x және -28x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y+21y=172-469$$

12y санын 21y санына қосу.

$$33y=172-469$$

172 санын -469 санына қосу.

$$33y=-297$$

Екі жағын да 33 санына бөліңіз.

$$y=-9$$

4x-3y=67 теңдеуінде -9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

-3 санын -9 санына көбейтіңіз.

$$4x+27=67$$

Теңдеудің екі жағынан 27 санын алып тастаңыз.

$$4x=40$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=-9$$