{l}{7x+2y=24}{8x+2y=30} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { 8 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=6$$

$$y=-9$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+2y=24$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$7x=-2y+24$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

\frac{1}{7} санын -2y+24 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+24}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 8x+2y=30.

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=30$$

8 санын \frac{-2y+24}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{192}{7}+2y=30$$

-\frac{16y}{7} санын 2y санына қосу.

$$-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}=30$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{192}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{2}{7}y=\frac{18}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{2}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-9$$

x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} теңдеуінде -9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{24}{7}$$

-\frac{2}{7} санын -9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{18+24}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{24}{7} бөлшегіне \frac{18}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-9$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\times 8}&-\frac{2}{7\times 2-2\times 8}\\-\frac{8}{7\times 2-2\times 8}&\frac{7}{7\times 2-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\4&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+30\\4\times 24-\frac{7}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=6,y=-9$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+2y=30 мәнін 7x+2y=24 мәнінен алып тастаңыз.

$$7x-8x+2y-2y=24-30$$

2y санын -2y санына қосу. 2y және -2y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7x-8x=24-30$$

7x санын -8x санына қосу.

$$-x=24-30$$

24 санын -30 санына қосу.

$$-x=-6$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=6$$

8x+2y=30 теңдеуінде 6 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$8\times 6+2y=30$$

8 санын 6 санына көбейтіңіз.

$$48+2y=30$$

Теңдеудің екі жағынан 48 санын алып тастаңыз.

$$2y=-18$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-9$$