{l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін x-3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$2x-6+5=y-1$$

-1 мәнін алу үшін, -6 және 5 мәндерін қосыңыз.

$$2x-1=y-1$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x-1-y=-1$$

Екі жағына 1 қосу.

$$2x-y=-1+1$$

0 мәнін алу үшін, -1 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$2x-y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+18y=43$$

Теңдеудің екі жағынан 18y санын алып тастаңыз.

$$7x=-18y+43$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

\frac{1}{7} санын -18y+43 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-18y+43}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

2 санын \frac{-18y+43}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

-\frac{36y}{7} санын -y санына қосу.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{86}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{43}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

-\frac{18}{7} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{43}{7} бөлшегіне -\frac{36}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін x-3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$2x-6+5=y-1$$

-1 мәнін алу үшін, -6 және 5 мәндерін қосыңыз.

$$2x-1=y-1$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x-1-y=-1$$

Екі жағына 1 қосу.

$$2x-y=-1+1$$

0 мәнін алу үшін, -1 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$2x-y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін x-3 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$2x-6+5=y-1$$

-1 мәнін алу үшін, -6 және 5 мәндерін қосыңыз.

$$2x-1=y-1$$

Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x-1-y=-1$$

Екі жағына 1 қосу.

$$2x-y=-1+1$$

0 мәнін алу үшін, -1 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$2x-y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

7x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Қысқартыңыз.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 14x-7y=0 мәнін 14x+36y=86 мәнінен алып тастаңыз.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

14x санын -14x санына қосу. 14x және -14x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$36y+7y=86$$

36y санын 7y санына қосу.

$$43y=86$$

Екі жағын да 43 санына бөліңіз.

$$y=2$$

2x-y=0 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-2=0$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$2x=2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$