{l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a=-2$$

$$b=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$7a-10b=-64$$

Теңдеудің екі жағына да 10b санын қосыңыз.

$$7a=10b-64$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

\frac{1}{7} санын 10b-64 санына көбейтіңіз.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{10b-64}{7} мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 3a+5b=19.

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

3 санын \frac{10b-64}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

\frac{30b}{7} санын 5b санына қосу.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{192}{7} санын қосыңыз.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{65}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$b=5$$

a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7} теңдеуінде 5 мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

\frac{10}{7} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{64}{7} бөлшегіне \frac{50}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=-2,b=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=-2,b=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

7a және 3a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

Қысқартыңыз.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 21a+35b=133 мәнін 21a-30b=-192 мәнінен алып тастаңыз.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

21a санын -21a санына қосу. 21a және -21a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-30b-35b=-192-133$$

-30b санын -35b санына қосу.

$$-65b=-192-133$$

-192 санын -133 санына қосу.

$$-65b=-325$$

Екі жағын да -65 санына бөліңіз.

$$b=5$$

3a+5b=19 теңдеуінде 5 мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$3a+5\times 5=19$$

5 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$3a+25=19$$

Теңдеудің екі жағынан 25 санын алып тастаңыз.

$$3a=-6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$a=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=-2,b=5$$