{l}{6x-y=5}{4x-y=1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - y = 5 } \\ { 4 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x-y=5,4x-y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x-y=5$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$6x=y+5$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{6} санын y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{6}$$

Басқа теңдеуде \frac{5+y}{6} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-y=1.

$$4\left(\frac{1}{6}y+\frac{5}{6}\right)-y=1$$

4 санын \frac{5+y}{6} санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y=1$$

\frac{2y}{3} санын -y санына қосу.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{10}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Екі жағын да -3 мәніне көбейтіңіз.

$$y=7$$

x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{6} теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{6}\times 7+\frac{5}{6}$$

\frac{1}{6} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7+5}{6}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{6} бөлшегіне \frac{7}{6} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x-y=5,4x-y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{6}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\\2\times 5-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x-y=5,4x-y=1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x-y=1 мәнін 6x-y=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-4x-y+y=5-1$$

-y санын y санына қосу. -y және y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6x-4x=5-1$$

6x санын -4x санына қосу.

$$2x=5-1$$

5 санын -1 санына қосу.

$$2x=4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=2$$

4x-y=1 теңдеуінде 2 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$4\times 2-y=1$$

4 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$8-y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$-y=-7$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=7$$