{l}{6x-5y=3}{3x+2y=12} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = 3 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9} \approx 2.444444444$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x-5y=3$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$6x=5y+3$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+3\right)$$

\frac{1}{6} санын 5y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y}{6}+\frac{1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=12.

$$3\left(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2}\right)+2y=12$$

3 санын \frac{5y}{6}+\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+2y=12$$

\frac{5y}{2} санын 2y санына қосу.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{9}{2}y=\frac{21}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{7}{3}$$

x=\frac{5}{6}y+\frac{1}{2} теңдеуінде \frac{7}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{7}{3} санын \frac{5}{6} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{2} бөлшегіне \frac{35}{18} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{22}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 12\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{2}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{9}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x-5y=3,3x+2y=12$$

6x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\times 3,6\times 3x+6\times 2y=6\times 12$$

Қысқартыңыз.

$$18x-15y=9,18x+12y=72$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 18x+12y=72 мәнін 18x-15y=9 мәнінен алып тастаңыз.

$$18x-18x-15y-12y=9-72$$

18x санын -18x санына қосу. 18x және -18x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-15y-12y=9-72$$

-15y санын -12y санына қосу.

$$-27y=9-72$$

9 санын -72 санына қосу.

$$-27y=-63$$

Екі жағын да -27 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{3}$$

3x+2y=12 теңдеуінде \frac{7}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times \frac{7}{3}=12$$

2 санын \frac{7}{3} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{14}{3}=12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{14}{3} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{22}{3}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{22}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{22}{9},y=\frac{7}{3}$$