{l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x-18y=-85$$

Теңдеудің екі жағына да 18y санын қосыңыз.

$$6x=18y-85$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

\frac{1}{6} санын 18y-85 санына көбейтіңіз.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

Басқа теңдеуде 3y-\frac{85}{6} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

24 санын 3y-\frac{85}{6} санына көбейтіңіз.

$$72y-340-5y=-5$$

72y санын -5y санына қосу.

$$67y-340=-5$$

Теңдеудің екі жағына да 340 санын қосыңыз.

$$67y=335$$

Екі жағын да 67 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x=3y-\frac{85}{6} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

3 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

-\frac{85}{6} санын 15 санына қосу.

$$x=\frac{5}{6}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

6x және 24x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 24 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

Қысқартыңыз.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 144x-30y=-30 мәнін 144x-432y=-2040 мәнінен алып тастаңыз.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

144x санын -144x санына қосу. 144x және -144x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-432y+30y=-2040+30$$

-432y санын 30y санына қосу.

$$-402y=-2040+30$$

-2040 санын 30 санына қосу.

$$-402y=-2010$$

Екі жағын да -402 санына бөліңіз.

$$y=5$$

24x-5y=-5 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$24x-5\times 5=-5$$

-5 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$24x-25=-5$$

Теңдеудің екі жағына да 25 санын қосыңыз.

$$24x=20$$

Екі жағын да 24 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{6}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$