{l}{6x+2y=300}{3x+5y=600} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x+2y=300$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$6x=-2y+300$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

\frac{1}{6} санын -2y+300 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{3}+50 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+5y=600.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

3 санын -\frac{y}{3}+50 санына көбейтіңіз.

$$-y+150+5y=600$$

-y санын 5y санына қосу.

$$4y+150=600$$

Теңдеудің екі жағынан 150 санын алып тастаңыз.

$$4y=450$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{225}{2}$$

x=-\frac{1}{3}y+50 теңдеуінде \frac{225}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{225}{2} санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

50 санын -\frac{75}{2} санына қосу.

$$x=\frac{25}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

6x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

Қысқартыңыз.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 18x+30y=3600 мәнін 18x+6y=900 мәнінен алып тастаңыз.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

18x санын -18x санына қосу. 18x және -18x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y-30y=900-3600$$

6y санын -30y санына қосу.

$$-24y=900-3600$$

900 санын -3600 санына қосу.

$$-24y=-2700$$

Екі жағын да -24 санына бөліңіз.

$$y=\frac{225}{2}$$

3x+5y=600 теңдеуінде \frac{225}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

5 санын \frac{225}{2} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1125}{2} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{75}{2}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{25}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$