{l}{6x+15y=360}{8x+10y=440} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=50$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x+15y=360$$

Теңдеудің екі жағынан 15y санын алып тастаңыз.

$$6x=-15y+360$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

\frac{1}{6} санын -15y+360 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{2}+60 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 8x+10y=440.

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

8 санын -\frac{5y}{2}+60 санына көбейтіңіз.

$$-20y+480+10y=440$$

-20y санын 10y санына қосу.

$$-10y+480=440$$

Теңдеудің екі жағынан 480 санын алып тастаңыз.

$$-10y=-40$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=4$$

x=-\frac{5}{2}y+60 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

-\frac{5}{2} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=-10+60$$

60 санын -10 санына қосу.

$$x=50$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=50,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=50,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

6x және 8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Қысқартыңыз.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 48x+60y=2640 мәнін 48x+120y=2880 мәнінен алып тастаңыз.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

48x санын -48x санына қосу. 48x және -48x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$120y-60y=2880-2640$$

120y санын -60y санына қосу.

$$60y=2880-2640$$

2880 санын -2640 санына қосу.

$$60y=240$$

Екі жағын да 60 санына бөліңіз.

$$y=4$$

8x+10y=440 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$8x+10\times 4=440$$

10 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$8x+40=440$$

Теңдеудің екі жағынан 40 санын алып тастаңыз.

$$8x=400$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=50$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=50,y=4$$