{l}{6u+4v=5}{9u-8v=4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

u, v мәнін табыңыз

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және u мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы u мәнін шешіңіз.

$$6u+4v=5$$

Теңдеудің екі жағынан 4v санын алып тастаңыз.

$$6u=-4v+5$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

\frac{1}{6} санын -4v+5 санына көбейтіңіз.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

Басқа теңдеуде -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} мәнін u мәнімен ауыстырыңыз, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

9 санын -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} санына көбейтіңіз.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

-6v санын -8v санына қосу.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{2} санын алып тастаңыз.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

Екі жағын да -14 санына бөліңіз.

$$v=\frac{1}{4}$$

u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6} теңдеуінде \frac{1}{4} мәнін v мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, u мәнін тікелей таба аласыз.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{1}{4} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{6} бөлшегіне -\frac{1}{6} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$u=\frac{2}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

u және v матрица элементтерін шығарыңыз.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u және 9u мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 54u-48v=24 мәнін 54u+36v=45 мәнінен алып тастаңыз.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

54u санын -54u санына қосу. 54u және -54u мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$36v+48v=45-24$$

36v санын 48v санына қосу.

$$84v=45-24$$

45 санын -24 санына қосу.

$$84v=21$$

Екі жағын да 84 санына бөліңіз.

$$v=\frac{1}{4}$$

9u-8v=4 теңдеуінде \frac{1}{4} мәнін v мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, u мәнін тікелей таба аласыз.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

-8 санын \frac{1}{4} санына көбейтіңіз.

$$9u-2=4$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$9u=6$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$u=\frac{2}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$