{l}{50x+y=200}{60x+y=260} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=6$$

$$y=-100$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$50x+y=200$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$50x=-y+200$$

Екі жағын да 50 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

\frac{1}{50} санын -y+200 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{50}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 60x+y=260.

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

60 санын -\frac{y}{50}+4 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

-\frac{6y}{5} санын y санына қосу.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

Теңдеудің екі жағынан 240 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

Екі жағын да -5 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-100$$

x=-\frac{1}{50}y+4 теңдеуінде -100 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

-\frac{1}{50} санын -100 санына көбейтіңіз.

$$x=2+4$$

4 санын 2 санына қосу.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-100$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=6,y=-100$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 60x+y=260 мәнін 50x+y=200 мәнінен алып тастаңыз.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$50x-60x=200-260$$

50x санын -60x санына қосу.

$$-10x=200-260$$

200 санын -260 санына қосу.

$$-10x=-60$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$x=6$$

60x+y=260 теңдеуінде 6 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$60\times 6+y=260$$

60 санын 6 санына көбейтіңіз.

$$360+y=260$$

Теңдеудің екі жағынан 360 санын алып тастаңыз.

$$y=-100$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-100$$