{l}{50a+40b=40050}{60a+52b=5000} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 a + 40 b = 40050 } \\ { 60 a + 52 b = 5000 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a=9413$$

$$b=-10765$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$50a+40b=40050$$

Теңдеудің екі жағынан 40b санын алып тастаңыз.

$$50a=-40b+40050$$

Екі жағын да 50 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{50}\left(-40b+40050\right)$$

\frac{1}{50} санын -40b+40050 санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{4}{5}b+801$$

Басқа теңдеуде -\frac{4b}{5}+801 мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 60a+52b=5000.

$$60\left(-\frac{4}{5}b+801\right)+52b=5000$$

60 санын -\frac{4b}{5}+801 санына көбейтіңіз.

$$-48b+48060+52b=5000$$

-48b санын 52b санына қосу.

$$4b+48060=5000$$

Теңдеудің екі жағынан 48060 санын алып тастаңыз.

$$4b=-43060$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$b=-10765$$

a=-\frac{4}{5}b+801 теңдеуінде -10765 мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-\frac{4}{5}\left(-10765\right)+801$$

-\frac{4}{5} санын -10765 санына көбейтіңіз.

$$a=8612+801$$

801 санын 8612 санына қосу.

$$a=9413$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=9413,b=-10765$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&40\\60&52\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{50\times 52-40\times 60}&-\frac{40}{50\times 52-40\times 60}\\-\frac{60}{50\times 52-40\times 60}&\frac{50}{50\times 52-40\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{50}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40050\\5000\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{50}\times 40050-\frac{1}{5}\times 5000\\-\frac{3}{10}\times 40050+\frac{1}{4}\times 5000\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9413\\-10765\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=9413,b=-10765$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$50a+40b=40050,60a+52b=5000$$

50a және 60a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 60 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 50 санына көбейтіңіз.

$$60\times 50a+60\times 40b=60\times 40050,50\times 60a+50\times 52b=50\times 5000$$

Қысқартыңыз.

$$3000a+2400b=2403000,3000a+2600b=250000$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3000a+2600b=250000 мәнін 3000a+2400b=2403000 мәнінен алып тастаңыз.

$$3000a-3000a+2400b-2600b=2403000-250000$$

3000a санын -3000a санына қосу. 3000a және -3000a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2400b-2600b=2403000-250000$$

2400b санын -2600b санына қосу.

$$-200b=2403000-250000$$

2403000 санын -250000 санына қосу.

$$-200b=2153000$$

Екі жағын да -200 санына бөліңіз.

$$b=-10765$$

60a+52b=5000 теңдеуінде -10765 мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$60a+52\left(-10765\right)=5000$$

52 санын -10765 санына көбейтіңіз.

$$60a-559780=5000$$

Теңдеудің екі жағына да 559780 санын қосыңыз.

$$60a=564780$$

Екі жағын да 60 санына бөліңіз.

$$a=9413$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=9413,b=-10765$$