{l}{50*2.4x+25*2.4y=660}{(50-20)*2.4x+(25+20)*2.4y=540} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 \times 2.4 x + 25 \times 2.4 y = 660 } \\ { ( 50 - 20 ) \times 2.4 x + ( 25 + 20 ) \times 2.4 y = 540 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4.5$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$120x+60y=660,72x+108y=540$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$120x+60y=660$$

Теңдеудің екі жағынан 60y санын алып тастаңыз.

$$120x=-60y+660$$

Екі жағын да 120 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{120}\left(-60y+660\right)$$

\frac{1}{120} санын -60y+660 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+11}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 72x+108y=540.

$$72\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+108y=540$$

72 санын \frac{-y+11}{2} санына көбейтіңіз.

$$-36y+396+108y=540$$

-36y санын 108y санына қосу.

$$72y+396=540$$

Теңдеудің екі жағынан 396 санын алып тастаңыз.

$$72y=144$$

Екі жағын да 72 санына бөліңіз.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+\frac{11}{2}$$

-\frac{1}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=-1+\frac{11}{2}$$

\frac{11}{2} санын -1 санына қосу.

$$x=\frac{9}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{2},y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$120x+60y=660,72x+108y=540$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}120&60\\72&108\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{108}{120\times 108-60\times 72}&-\frac{60}{120\times 108-60\times 72}\\-\frac{72}{120\times 108-60\times 72}&\frac{120}{120\times 108-60\times 72}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{80}&-\frac{1}{144}\\-\frac{1}{120}&\frac{1}{72}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}660\\540\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{80}\times 660-\frac{1}{144}\times 540\\-\frac{1}{120}\times 660+\frac{1}{72}\times 540\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{9}{2},y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$120x+60y=660,72x+108y=540$$

120x және 72x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 72 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 120 санына көбейтіңіз.

$$72\times 120x+72\times 60y=72\times 660,120\times 72x+120\times 108y=120\times 540$$

Қысқартыңыз.

$$8640x+4320y=47520,8640x+12960y=64800$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8640x+12960y=64800 мәнін 8640x+4320y=47520 мәнінен алып тастаңыз.

$$8640x-8640x+4320y-12960y=47520-64800$$

8640x санын -8640x санына қосу. 8640x және -8640x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4320y-12960y=47520-64800$$

4320y санын -12960y санына қосу.

$$-8640y=47520-64800$$

47520 санын -64800 санына қосу.

$$-8640y=-17280$$

Екі жағын да -8640 санына бөліңіз.

$$y=2$$

72x+108y=540 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$72x+108\times 2=540$$

108 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$72x+216=540$$

Теңдеудің екі жағынан 216 санын алып тастаңыз.

$$72x=324$$

Екі жағын да 72 санына бөліңіз.

$$x=\frac{9}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{2},y=2$$