{l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

y, z мәнін табыңыз

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$5y-4z=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 4z санын қосыңыз.

$$5y=4z-1$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

\frac{1}{5} санын 4z-1 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{4z-1}{5} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -7y+7z=9.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

-7 санын \frac{4z-1}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

-\frac{28z}{5} санын 7z санына қосу.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$z=\frac{38}{7}$$

y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5} теңдеуінде \frac{38}{7} мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{38}{7} санын \frac{4}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{5} бөлшегіне \frac{152}{35} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{29}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

y және z матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

5y және -7y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -35y+35z=45 мәнін -35y+28z=7 мәнінен алып тастаңыз.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

-35y санын 35y санына қосу. -35y және 35y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$28z-35z=7-45$$

28z санын -35z санына қосу.

$$-7z=7-45$$

7 санын -45 санына қосу.

$$-7z=-38$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$z=\frac{38}{7}$$

-7y+7z=9 теңдеуінде \frac{38}{7} мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

7 санын \frac{38}{7} санына көбейтіңіз.

$$-7y+38=9$$

Теңдеудің екі жағынан 38 санын алып тастаңыз.

$$-7y=-29$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{29}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$