{l}{5x-y=110}{9y-x=110} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=25$$

$$y=15$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-y=110$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$5x=y+110$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

\frac{1}{5} санын y+110 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{5}+22 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+9y=110.

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

-1 санын \frac{y}{5}+22 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

-\frac{y}{5} санын 9y санына қосу.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

Теңдеудің екі жағына да 22 санын қосыңыз.

$$\frac{44}{5}y=132$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{44}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=15$$

x=\frac{1}{5}y+22 теңдеуінде 15 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

\frac{1}{5} санын 15 санына көбейтіңіз.

$$x=3+22$$

22 санын 3 санына қосу.

$$x=25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=25,y=15$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=25,y=15$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

5x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

Қысқартыңыз.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -5x+45y=550 мәнін -5x+y=-110 мәнінен алып тастаңыз.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

-5x санын 5x санына қосу. -5x және 5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-45y=-110-550$$

y санын -45y санына қосу.

$$-44y=-110-550$$

-110 санын -550 санына қосу.

$$-44y=-660$$

Екі жағын да -44 санына бөліңіз.

$$y=15$$

-x+9y=110 теңдеуінде 15 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+9\times 15=110$$

9 санын 15 санына көбейтіңіз.

$$-x+135=110$$

Теңдеудің екі жағынан 135 санын алып тастаңыз.

$$-x=-25$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=25,y=15$$